日記 2021/04/24

可測集合列\{E_n\}について、\mu(E_1)<\inftyであり、
\displaystyle{ E = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} E_k = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k }
ならば
\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mu(E_n) = \mu(E) }
の証明をやってた。

これは

可測集合列\{E_n\}と測度\muについて
\displaystyle{ \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} E_k) \leq \liminf_{n \to \infty} \mu(E_n) }
と
可測集合列\{E_n\}と測度\muについて、
E_1<\inftyならば
\displaystyle{ \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k) \geq \limsup_{n \to \infty} \mu(E_n) }
を使って下極限と上極限で挟めば解決！なのはわかってたけど、
下極限と上極限が一致するとき極限がその値になることをちゃんと証明してないなってなって時間を少し食いました。
これは解析の超基本的な問題だと思うので時間かかったのは反省ポイントです。