日記 2021/04/24

可測集合列\{E_n\}について、\mu(E_1)<\inftyであり、
\displaystyle{ E = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} E_k = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k }
ならば
\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mu(E_n) = \mu(E) }
の証明をやってた。

これは

可測集合列\{E_n\}と測度\muについて
\displaystyle{ \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} E_k) \leq \liminf_{n \to \infty} \mu(E_n) }
と
可測集合列\{E_n\}と測度\muについて、
E_1<\inftyならば
\displaystyle{ \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k) \geq \limsup_{n \to \infty} \mu(E_n) }
を使って下極限と上極限で挟めば解決！なのはわかってたけど、
下極限と上極限が一致するとき極限がその値になることをちゃんと証明してないなってなって時間を少し食いました。
これは解析の超基本的な問題だと思うので時間かかったのは反省ポイントです。

日記 2021/04/03

昨日は休んでいたら寝落ちしたので今日記を書いています。
やはり飯食ったらすぐシャワーを浴びるべきだった。

10進数の加減乗除の方法を示すやつが結構めんどくさくて、関数の構築もさながらそれが合っていることを示すのが、なんというかどうしても自明みたいな書き方(Hilbertのイプシロン記法と一階述語論理の言葉を使って証明をすすめて来ているので場合によってはほぼ自明みたい)になる。

それでとばして有限集合に関する性質を見始めた。

あと勉強会みたいなのに参加したら結構時間が過ぎて、あとは緑3問解いたくらいである。

こんなんで講義始まったら死にそう。

日記 2021/04/02


割り算の一意可能性


\displaystyle{ \forall p \in \{p \in N | 2 \leq p \}; \forall a, b \in N; (b \neq 0 \rightarrow \exists ! x, y \in N; (a = b \times x + y \land y < b)) }
を示した。
これによって、p-進法表記の一意可能性が示せて、p-進法表記ができるようになった。
例題に10進法での加減乗除の計算方法を考え、それが正しいことを示せとあったが、これが終わってない。
加算は繰り上がりを帰納的な関数で表現すればよく、減算は加算を使って求められる。乗算は累積帰納的な関数を使えばよく、除算は乗算から求められる。
あとはやるだけだけどやってない。